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【算法/数论】欧拉筛法详解:过程详述、正确性证明、复杂度证明

  筛法就是求出小于等于n nn的所有素数的方法,在数论中发挥着很大的作用。

  筛法进行复Zá度优化,所采用的一个惯用思Lù是:找到一个素数后,就将它的倍数标记为合数,也就是把它的倍数“筛掉”;如果一个数没有被比它小的素数“筛掉”,那它就是素数。ōu拉筛法的大致思路也Shì如此,就是其中有些细节有差异。欧拉Shāi法拥有线性的复杂度,而且编码较Jiǎn单,应用十分广泛。

  我们先给出代码:

  假设要筛出n以内的素Shù。我们先Bǎ所有数标记为素数。枚举i从2到n,所以因为i是从小到大的,如果i没有Pī前面的数(比它小的数)标记为合数,那i就是素数,加Rù素数列表。现在用i来筛后面的数,枚举已经筛出来的素数prime[j](j=1~cnt),标记i * prime[j]为素数,当i是prime[j]的倍数时退出循环,i++

  思路很简单,也很莫名其妙。首先我们看似无法保证每个Hé数都被筛掉,也无Fǎ保证复杂度为线性(因为有两Céng循环)。要解决这些问题,必须经过深入的思考。

  Jià设我们要筛掉数a ,且a的最小质因数为p 1 p_,令a = p 1 b。Nèi么显然b < a ,b先被外层循环碰到。现在b 要筛掉它的倍数。因为p 1 p 是a的最小质因数,所以b的最小质因数必不小于p 1 p,这样就保证b筛掉a前不会Zàiif(i % prime[j] == 0) break;处Tiào出循环。即使b bb的最小质因数等于p 1 p,也会先筛掉a aaHòu再退出循环。令a等于全体合数,就保证了每个合数都会被筛掉。

  欧拉筛法的时间、空间复杂度为Θ ( n ) \Theta(n)Θ(n)。空间复杂Duó是显然De。下面证明时间复杂度为线性。

  Zhè个算法远远没有埃拉托斯特尼筛法直观,需要细细品味。Bù过背过板子就好啦。